消去参数。
他抬头看钟，考试开始四十分钟。教室里大部分人还在挣扎，前排的学霸张涛眉头紧锁，显然也被最后一题难住了。苏雨薇在检查卷子，但眼神有些飘忽。
林澈开始从头检查。
第一题，$\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{\tan5x}$。他盯着那个$\frac{3}{5}$，那种不对劲的感觉又来了。他重新计算：$\sin3x\sim3x$，$\tan5x\sim5x$，所以极限是$\frac{3x}{5x}=\frac{3}{5}$。
但$\tan5x$在$x\to0$时等价于$5x$吗？$\tan\theta\sim\theta$当$\theta\to0$，这里$\theta=5x\to0$，没错。
可是……林澈闭上眼睛，前世赵建国讲解这道题的声音在脑中回响：“很多同学直接用了等价无穷小，但要注意，$\tan5x$在$x\to0$时确实是$5x$的高阶无穷小吗？我们严格计算一下……”
对了！赵建国当时强调了不能直接用等价无穷小，因为分子分母是加减关系？不，这里是乘除，可以用。
但教授说：“这道题我特意设计了一个陷阱，$\tan5x$在$x\to0$时等价于$5x$，但$\sin3x$等价于$3x$，所以答案是$\frac{3}{5}$——如果你这么想，就掉坑里了。因为$\tan5x=5x+\frac{125}{3}x^3+O(x^5)$，展开到三阶项会影响结果吗？我们算一下……”
林澈的笔在草稿纸上飞快运算：
$\sin3x=3x-\frac{27}{6}x^3+O(x^5)=3x-\frac{9}{2}x^3+O(x^5)$
$\tan5x=5x+\frac{125}{3}x^3+O(x^5)$
所以$\frac{\sin3x}{\tan5x}=\frac{3x-\frac{9}{2}x^3+O(x^5)}{5x+\frac{125}{3}x^3+O(x^5)}=\frac{3}{5}\cdot\frac{1-\frac{3}{2}x^2+O(x^4)}{1+\frac{25}{3}x^2+O(x^4)}$
当$x\to0$时，这确实趋于$\frac{3}{5}$。所以答案没错。
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